Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过点O作OD⊥AC于D，连接BC．
（1）求证：OD=BC；
（2）若∠BAC=40°，求的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据垂径定理得到AD=CD，再根据三角形的中位线定理进行证明；
（2）根据圆周角定理得：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的2倍，进行求解．
解答：（1）证明：
证法一：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB．
又∵OD⊥AC，
∴AD=CD．
∴OD=BC．
证法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，OA=AB．
∵OD⊥AC即∠ADO=90°，
∴∠C=∠ADO．
又∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB．
∴．
∴OD=BC．

（2）解：解法一：∵AB是⊙O的直径，∠A=40°，
∴∠C=90°．
∴的度数为：2×（90°+40°）=260°．
解法二：∵AB是⊙O的直径，∠A=40°，
∴∠C=90°．
∴∠B=50°．
∴的度数为100°．
∴的度数为260°．
点评：熟练运用垂径定理和三角形的中位线定理证明；掌握弧的度数和它所对的圆周角的度数的关系．