Question

（2013•朝阳区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x、y轴分别交于点A、B，且A（-2，0），B（0，1），在直线AB上截取BB₁=AB，过点B₁分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A₁、C₁，得到矩形OA₁B₁C₁；在直线AB上截取B₁B₂=BB₁，过点B₂分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A₂、C₂，得到矩形OA₂B₂C₂；在直线AB上截取B₂B₃=B₁B₂，过点B₃分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A₃、C₃，得到矩形OA₃B₃C₃；…则第3个矩形OA₃B₃C₃的面积是

24

；第n个矩形OA_nB_nC_n的面积是

2n²+2n

（用含n的式子表示，n是正整数）．

Answer 1

分析：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），再把点A（-2，0），B（0，1）代入即可求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，根据两点间的距离公式求出AB的长，设出B₁，B₂，B₃的坐标，根据BB₁=AB，B₁B₂=BB₁，B₂B₃=B₁B₂即可得出B₁，B₂，B₃的坐标，进而得出矩形的面积，找出规律即可得出结论．

解答：解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵点A（-2，0），B（0，1）在直线AB上，
∴

-2k+b=0 b=1

，解得

k= 1 2 b=1

，
∴直线AB的解析式为y=

1

2

x+b，
∴AB=

(-2-0)2+(0-1)2

=

5

，
设B₁（x₁，

1

2

x₁+b），B₂（x₂，

1

2

x₂+b），B₃（x₃，

1

2

x₃+b）的坐标，
∵BB₁=AB，B₁B₂=BB₁，B₂B₃=B₁B₂，
∴（x₁-0）²+（

1

2

x₁+1-1）²=（

5

）²，解得x=2或x=-2（舍去），
∴B₁（2，2），
同理可得B₂（4，3），B₃（6，4），
∴S_{矩形OA1B1C1}=2×2=2×（1+1）=4；
S_{矩形OA2B2C2}=4×3=2×2×（2+1）=12；
S_{矩形OA3B3C3}=6×4=2×3×（3+1）=14，
∴第n各矩形的面积=2n（n+1）=2n²+2n．
故答案为：24；2n²+2n．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、矩形的面积、一次函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．