Question

（2013•太原二模）如图，在?ABCD中，AB=6，BC=10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）填空：
①当BE的长度为

5

时，四边形AECF是菱形；
②当BE的长度为

3.6

时，四边形AECF是矩形．

Answer 1

分析：（1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，再证明AF=EC，可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=

1

2

CB=5，然后再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②当AE⊥BC时，四边形AECF是矩形，根据勾股定理分别计算出AC长，再计算出AE长，然后再利用勾股定理计算出BE长即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：①当EB=5时，四边形AECF是菱形；
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵CB=10，EB=5，
∴E为BC中点，
∴AE=

1

2

CB=5，
∴AE=EC，
又∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：5．

②当BE=3.6时，四边形AECF是矩形，
当AE⊥BC时，四边形AECF是矩形，
∵AB=6，BC=10，
∴AC=8，
∴

1

2

×AB×AC=

1

2

×CB×AE，
AE=

24

5

，
EB=

AB2-AE2

=3.6，
故答案为：3.6．

点评：此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，关键是掌握各种特殊四边形的判定方法．