Question

（2011•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

Answer 1

（1）证明：过点D作DP⊥BC，于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，

∵∠C=∠B=60°
∴CP=BQ=AB，CP+BQ=AB，
又∵ADPQ是矩形，AD=PQ，
故BC=2AD，
由已知，点M是BC的中点，
BM=CM=AD=AB=CD，
即△MDC中，CM=CD，∠C=60°，
故△MDC是等边三角形．
（2）解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：
连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME与△AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF，
∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是，
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周长的最小值为2+，
答：存在，△AEF的周长的最小值为2+．

解析