Question

如图1，在平面直角坐标系中，半径为4的⊙O交坐标轴于A、B、C、D，点P为弧BC上一个动点（不与B、C点重合）．连AP、BC交于点G，连FG交OB 于点E．

（1）请运用圆的定义证明C、F、P、G在同一个圆上；
（2）当P为BC的中点时，求点G的坐标；
（3）如图2，连接PD，设△PAB的内切圆半径为r，求证：．

Answer 1

解：（1）如图1，取FG的中点M，连CM，PM．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠APB=90°，
∴∠BCF=∠FPB=90°
∴CM=GM=PM=FM=EG，即点C、F、P、G到点M的距离相等，
根据圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
点C、F、P、G在以点M为圆心，MC长为半径的圆上．

（2）如图1，连PC．
∵点P为弧BC的中点，
∴=，
∴∠BAP=∠CAP．
又∵AP⊥BF，BC⊥AF，AP、BC交于点G，
∴点G为△ABF的垂心，
∴FG⊥AB，即GE⊥AB．
∵在△ACG和△AEG中，
，
∴△ACG≌△AEG（AAS）．
∴AC=AE．
∵AO⊥OC，AO=OC=4，
∴AC=4，
∴AE=4．
∴OE=AE-AO=4-4，
∴BE=OB-OE=8-4．
∵∠1=∠CAB=45°，
∴∠=∠2=45°，
∴EG=BE=8-4，
∴点G的坐标是：（4-4，8-4）；

（3）证明：如图2，作∠ABP的角平分线BQ交PD于点Q，过点Q作QM⊥AP，QN⊥BP，垂足分别为点M、N．
∵=，
∴∠1=∠2=45°．
又∵BQ平分∠ABP，
∴点Q即为△PAB的内心，
∴QM=QN=r，又∠QMP=∠QNP=∠MPN=90°，
∴四边形MQNP为正方形，易得PQ=QM=r，
∵△BPQ的外角∠5=∠2+∠3=45°+∠3，∠DBQ=∠DBO+∠4=45°+∠4，又∠3=∠4，
∴∠5=∠DBQ，
∴DQ=DB=4，
∴PD=PQ+QD=r+4=（4+r）．
分析：（1）取FG的中点M，连CM，PM，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明CM=GM=PM=FM即可；
（2）如图1，连PC．由三角形垂心的定义推知FE⊥AB．首先由全等三角形（△ACG≌△AEG）的性质知对应边AC=AE=4；然后根据圆心角、弧、弦间的关系，勾股定理，等腰三角形的判定与性质求得BE=EG=8-4．则易求点G的坐标；
（3）如图2，作∠ABP的角平分线BQ交PD于点Q，过点Q作QM⊥AP，QN⊥BP，垂足分别为点M、N．通过圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系推知点Q即为△APB的内心．根据内心的定义以及正方形的判定推知四边形MQNP为正方形，易得PQ=QM=r；然后根据△BPQ的外交定理，等腰三角形的判定求得DQ=DB=4，所以PD=PQ+QD=r+4=（4+r）．
点评：本题考查了圆的综合题．其中涉及到的知识点有圆周角定理，圆的定义，圆周角、弧、弦间的关系以及全等三角形的判定与性质等．注意（3）中辅助线的作法．