Question

【题目】如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，，求菱形的面积．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)96．

【解析】

（1）先证明△AEF≌△DEB，可得AF=DB=DC，进而证明四边形ADCF是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线的性质得AD=CD，即可证明四边形ADCF是菱形；

（2）求出菱形ADCF的面积=直角三角形ABC的面积，然后解答即可．

（1）证明：∵E是AD的中点，

∴AE=DE

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵在△AEF和△DEB中，∠AFE=∠DBE，∠AEF=∠DEB，AE=DE，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF=DB=DC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中点，

∴AD=CD=BC，

∴平行四边形ADCF是菱形；

（2）解：设AF到CD的距离为h，

∵AF∥BC，AF=BD=CD，∠BAC=90°，

∴S菱形ADCF=CD·h=BC·h=S△ABC=AB·AC=×12×16=96.