Question

（2012•北塘区二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=

3

．动点O在AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连接CD．
（1）如图1，当直线CD与⊙O相切时，请你判断线段CD与AD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当∠ACD=15°时，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD．根据切线的性质以及等边对等角，求得∠ACD的度数，然后根据等角对等边即可证明CD=AD；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△BCF中，可求BF的长，在Rt△CDF中，可求DF的长，根据AD=AB-BF-FD可以求解．

解答：（1）答：CD=AD．        
证明：如图1，连接OD．
∵直线CD与⊙O相切．
∴∠COD=90°，
又∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO=30°．
∴∠COD=60°．
∴∠ACD=30°． 
∴∠ACD=∠A  
∴CD=AD；

（2）解：如图2，过点C作CF⊥AB于点F．
∵∠A=30°，BC=

3

，
∴AB=2

3

．    
∵∠ACD=15°，
∴∠BCD=75°，∠BDC=45°．
在Rt△BCF中，可求BF=

3

2

，CF=

3

2

．
在Rt△CDF中，可求DF=

3

2

．        
∴AD=AB-BF-FD=2

3

-

3

2

-

3

2

=

1

2

（3

3

-3）．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，以及三角函数的综合应用，正确作出辅助线是关键．