Question

（2011•鄂尔多斯）如图，在⊙O中，OC⊥AB，垂足为D，且AB=4

3

cm，∠OBD=30°，则由弦AC、AB与

BC

所围成的阴影部分的面积是

8

3

π

cm²．（结果保留π）

Answer 1

分析：连接BC．利用垂径定理、等边三角形的判定证得△OBC是等边三角形；然后由等边三角形的性质推知点D是线段OC的中点，从而证得S_△ADC=S_△BDO，继而推出S_阴影=S_扇形BOC．

解答：解：连接BC．
∵在⊙O中，OC⊥AB，垂足为D，且AB=4

3

cm，
∴BD=AD=2

3

（垂径定理）；
又∵∠OBD=30°，
∴OB=

BD

cos30°

=4，∠COB=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
∵OB=OC（⊙O的半径），
∴△OBC是正三角形，
∴CD=OD；
∴S_△ADC=S_△BDO=

1

2

×

1

2

AB×

1

2

CD=

1

8

AB•CD，
∴S_阴影=S_扇形BOC=

60π×42

360

=

8

3

π．
故答案是：

8

3

π

点评：此题主要考查了扇形面积的计算、垂径定理．解题时，主要用分割法把不规则图形的面积转化成规则图形的面积，进行计算．