Question

小虎训练上楼梯赛跑，他每步可上1阶或2阶或3阶，这样上到第16阶但不踏到第7阶和第15阶，那么不同上法共有

1849

种．

Answer 1

分析：如果用n表示台阶的级数，an表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，求出当n=1，2，3，4时不同的走法，找出规律即可求解．

解答：解：如果用n表示台阶的级数，an表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到：
①当n=1时，显然只要1种跨法，即a 1=1．
②当n=2时，可以一步一级跨，也可以一步跨二级上楼，因此，共有2种不同的跨法，即a₂=2．
③当n=3时，可以一步一级跨，也可以一步三级跨，还可以第一步跨一级，第二步跨二级或第一步跨二级，第二步跨一级上楼，因此，共有4种不同的跨法，即a₃=4．
④当n=4时，分三种情况分别讨论：
如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由③可知有a₃=4（种）跨法．
如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有a₂=2（种）跨法．
如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有a₁=1（种）跨法．
根据加法原理，有a₄=a₁+a₂+a₃=1+2+4=7
类推，有a₅=a₂+a₃+a₄=2+4+7=13；
a₆=a₃+a₄+a₅=4+7+13=24；
a₇=0；
a₈=a₅+a₆=13+24=37；
a₉=a₆+a₈=24+34=61；
a₁₀=a₈+a₉=37+61=98；
a₁₁=a₈+a₉+a₁₀=37+61+98=196；
a₁₂=a₉+a₁₀+a₁₁=61+98+196=355；
a₁₃=a₁₀+a₁₁+a₁₂=98+196+355=649；
a₁₄=a₁₁+a₁₂+a₁₃=196+355+649=1200；
a₁₅=0，
a₁₆=a₁₃+a₁₄=649+1200=1849．
故答案为：1849．

点评：本题考查的是排列与组合问题，分别根据排列与组合原理求出当n=1，2，3，4…时不同的走法，找出规律，是解答此题的关键．