Question

【题目】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D的坐标；

（2）点在轴上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点的坐标；

（3）过点作直线CD的垂线，垂足为，若将沿翻折，点的对应点为．是否存在点，使恰好落在轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；点坐标为； （2）P1(0,2)； P2(,-2)；P3(,-2) ; （3）满足条件的点有两个，其坐标分别为：（， ），（，）．

【解析】

1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D的坐标

(2)分两种情况进行讨论,①当AE为一边时,AE∥PD,②当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P坐标

(3)结合图形可判断出点P在直线CD下方,设点P的坐标为(，),分情况讨论,①当P点在y轴右侧时,②当P点在y轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可

（1）∵抛物线经过，两点，

∴，解得：，，

∴抛物线解析式为：；

当时，，解得：，（舍），即：点坐标为．

（2）∵，两点都在轴上，∴有两种可能：

①当为一边时，∥，此时点与点重合（如图1），∴，

②当为对角线时，点、点到直线（即轴）的距离相等，

∴点的纵坐标为（如图2），

把代入抛物线的解析式，得：，

解得：，，

∴点的坐标为，，

综上所述：； ； ．

（3）存在满足条件的点，显然点在直线下方，设直线交轴于，

点的坐标为（，），

①当点在轴右侧时（如图3），

，

，

又∵，

∴,

又，∴，

∴，

∵，，，∴，∴，

∴，＝＝，

即，∴点的坐标为（，），

②当点在轴左侧时（如图4），

此时，，＝＝，

＝－（）＝，

又∵，，

∴，又

∴，∴，

∵，，，

∴，∴，

∴，

＝＝，

此时，点的坐标为（，）．

综上所述，满足条件的点有两个，其坐标分别为：（，），（，）．