题目内容
如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AB=3，DC=6，CB=5．点E是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，并且AE=AF，连接EF，与边BC相交于点G．设BF=x，DE=y．
（1）直接写出边AD的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当点E在边DC上移动时，△BFG能否成为以BG为腰的等腰三角形？如果能，请求出线段B
F的长；如果不能，请说明理由．
解：（1）∵过点B作BM⊥CD于M，∵AB∥DC，∠D=90°，
∴∠D=∠ABM=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，
∴BM=AD，DM=AB=3，
∴CM=CD-DM=6-3=3，
在Rt△BMC中，
BM=
=4，∴AD=4；
（2）在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，
∵BF=x，
∴AF=AB+BF=3+x，
∵AE=AF=3+x，DE=y，
∴（3+x）2=y2+16，
∴y=
，当E与D重合，y=0，则x=AD-AB=1，
当E与C重合：AC=
=2
，∴x=2
-3，∴1≤x≤2
-3，∴y关于x的函数关系式为y=
，自变量x的取值范围为1≤x≤2-3；（3）①若BG∥AE，
则
，∵AE=AF，
∴BF=BG，
∴
，∵AB∥CD，
∴
，∴
，∴EC=AB=3，
则DE=CD-EC=3，
∵AD=4，
∴AE=AF=5，
∴BF=AF-AB=2；
②若BG=GF，
过点G作GN⊥CD于N，∵AB∥CD，
∴MN⊥AB，
∴四边形ADNM是矩形，
∴AM=DN，
∵BG=GF，AB∥CD，
∴EG=CG，
∴BM=
BF=x，EN=
EC=（CD-DE）=
，∴3+
=y+，∴x=y，
∵（3+x）2=y2+16，
∴（3+x）2=x2+16，
解得：x=
．综上，当BF=2或
时，△BFG是以BG为腰的等腰三角形．分析：（1）过点B作BM⊥CD于M，可得四边形ADMB是矩形，然后利用勾股定理，即可求得边AD的长；
（2）由AE=AF=AB+BF=3+x，又由DE=y，AD=4，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求得y关于x的函数关系式，当E与D重合时，x最小，当E与C重合时y最大；
（3）分别从BG=BF与BG=GF去分析求解，利用平行线分线段成比例与等腰三角形的性质，即可求得答案．
点评：此题考查了直角梯形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．
练习册系列答案
相关题目
24、如图，已知：AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是
