题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=
=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6-5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，
∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜
）时，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG与△ACB相似，则
或 
，
∴
或 
，
∴t=
或t=
；
当AD＞AE（即t＞
）时，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3，
若△DEG与△ACB相似，则
或 
，
∴
或 
，
解得t=
或t=
；
综上所述，当t=
或 
或 
或 
时，△DEG与△ACB相似．
点评：此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．
（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=
=5．∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6-5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，
∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜
）时，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，若△DEG与△ACB相似，则
或 
，∴
或 
，∴t=
或t=
；当AD＞AE（即t＞
）时，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3，若△DEG与△ACB相似，则
或 
，∴
或 
，解得t=
或t=
；综上所述，当t=
或 
或 
或 
时，△DEG与△ACB相似．点评：此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．
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（2013•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD和BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于点D，求点D到BC的距离．
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