Question

如图，BC是⊙O的直径，P是⊙O上的一点，A是

BP

的中点，AG⊥BC，垂足为D，若BD=2，OD=3．
（1）求AG的长；
（2）求BE的长．

Answer 1

分析：（1）据垂径定理，则可得AD=

1

2

AG，据相交弦定理可得AD²=BD×DC，AG可求．
（2）连接OA交BP于H，由A是

BP

的中点，可得OA垂直平分BP，BP=AG，BH的长度可求；再利用△BDE∽△BHO，对应边成比例，

BD

BH

=

BE

BO

=

DE

HO

，问题可求．

解答：解：（1）∵BD=2，OD=3；∴DC=8
∵AD²=BD×DC，
∴AD=

2×8

=4；

（2）连接OA交BP于H，
∵A是

BP

的中点，∴

BA

=

AP

，
∵AG⊥BC，∴

AB

=

BG

，∴

AB

+

BG

=

AB

+

AP

，
∴

AG

=

BP

，
∴BP=AG，∴

1

2

BP=

1

2

AG，
∴BH=AD=4；
在△BDE和△BHO中，∵∠B=∠B，∠EDB=∠OHB=90°
∴△BDE∽△BHO，
∴

BD

BH

=

BE

BO

；
又∵BD=2，OD=3，∴OB=5；
∴

2

4

=

BE

5

，
∴BE=

5

2

．

点评：本题综合考查对垂径定理的掌握及所学知识点的灵活运用，第二问的解答关键是作辅助线，借助相似三角形的对应边成比例将问题解决．