Question

(2005·辽宁大连)如图所示，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线分别交于点D、E(E在D的上方)，且△PDE为等腰直角三角形．若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．

Answer 1

答案：略
解析：

解　存在． 　　方法1　当x=t时，y=x=t；当x=t时， 　　． 　　∴E点坐标为，D点坐标为(t，t)． 　　∵E在D的上方，∴，且． 　　∵△PDE为等腰直角三角形， 　　∴PE=DE或PD=DE或PE=PD 　　若t＞0，PE=DE时，． 　　∴，． 　　∴P点坐标为． 　　若t＞0，PD=ED时， 　　∴∴P点坐标为． 　　若t＞0．PE=PD时,即DE为斜边 　　∴ 　　∴，DE的中点坐标为， 　　∴P点坐标为． 　　若t＜0，PE=DE和PD=DE时,由已知得，，t=4＞0(不符合题意，舍去)，此时直线x=t不存在． 　　若t＜0，PE=PD时,即DE为斜边，由已知得DE=－2t，， 　　∴t=－4，，∴P点坐标为(0，0)． 　　综上所述：当时，为等腰直角三角形，此时P点坐标为或；当时，为等腰直角三角形，此时P点坐标为(0，0)． 　　方法2　设直线交y轴于点A，交直线y=x于点B，过点B作BM垂直于y轴，垂足为M，交DE于点N． 　　∵x=t平行于y轴，． 　　∵，解得． 　　∴B点坐标为，∴ 　　当x=0时，，∴A点坐标为(0，2)，∴OA=2． 　　∵为等腰直角三角，∴PE=DE或PD=DE或PE=PD． 　　如图所示，若t＞0，PE=DE和PD=DE时，∴PE=t，PD=t 　　∵DE∥OA，∴， 　　．∴，∴ 　　当时，，． 　　P点坐标为或． 　　若t＞0,PD=PE时，即DE为斜边， 　　∴DE=2MN=2t，∵DE∥OA∴∴．∴，∴MN=t=， 　　DE中点的纵坐标为． 　　∴P点坐标为． 　　如图所示，若t＜0，PE=DE或PD=DE时， 　　∵DE∥OA，∴ 　　．DE=－4(不符合题意，舍去，)此时直线不存在． 　　若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边， 　　∴DE=2NM=－2t． 　　∵DE∥OA，，∴ 　　∴，∴MN=4 　　∴t=－4，．∴P点坐标为(0，0)． 　　综上所述：时，为等腰直角三角形，此时P点坐标为或；当时，为等腰直角三角形，此时P点坐标为；当t=－4时，为等腰三角形，此时P点坐标为(0，0)．