Question

直线AB、CD相交于点O，OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线．
（1）画出这个图形；
（2）射线OE、射线OF在同一条直线上吗？说明理由；
（3）画∠AOD的平分线OG，说明OE与OG有怎样的位置关系？

Answer 1

分析：（1）根据题意画图；
（2）根据邻补角和对顶角的定义得到∠AOC=∠BOD，∠AOC+∠AOD=180°，再根据角平分线的定义得∠AOE=

1

2

∠AOC，∠DOF=

1

2

∠BOD，则∠AOE=∠DOF，所以∠AOE+∠DOF+∠AOD=180°，于是可判断射线OE、射线OF在同一条直线上；
（3）根据（2）得∠AOE=∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD=180°，再由OG平分∠AOD得∠AOG=∠DOG，所以∠AOE+∠AOG=90°．

解答：解：（1）如图；

（2）射线OE、射线OF在同一条直线上．理由如下：
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD，∠AOC+∠AOD=180°，
∵OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠AOE=

1

2

∠AOC，∠DOF=

1

2

∠BOD，
∴∠AOE=∠DOF，
∴∠AOE+∠DOF=∠AOC，
∴∠AOE+∠DOF+∠AOD=180°，
∴射线OE、射线OF在同一条直线上；

（3）如图，
OE⊥OG．理由如下：
∵OG平分∠AOD，
∴∠AOG=∠DOG，
∵∠AOE=∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD=180°，
∴∠AOE+∠AOG=90°，
∴OG⊥OE．

点评：本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．也考查了邻补角和对顶角．