Question

如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．

（1）求证：OF∥BD；
（2）若，且⊙O的半径R=6cm．①求证：点F为线段OC的中点； ②求图中阴影部分（弓形）的面积．

Answer 1

（1）证明见解析（2）①证明见解析②cm²

（1）证明：∵OC为半径，点C为的中点，∴OC⊥AD。
∵AB为直径，∴∠BDA=90°，BD⊥AD。∴OF∥BD。
（2）①证明：∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，∴OF=BD。
∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE。
∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，
∴，∴FC=BD。
∴FC=FO，即点F为线段OC的中点。
②解：∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，
又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形。
∴根据锐角三角函数定义，得△AOC的高为。
∴（cm²）。
答：图中阴影部分（弓形）的面积为cm²。
（1）由垂径定理可知OC⊥AD，由圆周角定理可知BD⊥AD，从而证明OF∥BD。
（2）①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为△ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点；
②根据S_阴=S_扇形AOC﹣S_△AOC，求面积。