Question

在△ABC中，
（1）如图①，点P在AC上（不同于A，C两点），∠BPC与∠A的大小关系是

 

（2）如图②，点P在△ABC内部，∠BPC与∠A的大小关系是

 

（3）如图③，点P是∠ABC，∠ACB平分线的交点，此时，∠BPC与∠A的关系是

 

（4）如图④，点P是∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交点时，∠BPC与∠A的关系是

 

（5）如图⑤，点P是∠DBC与∠BCE的平分线交点，∠BPC与∠A的关系是

 

（6）证明第（4）问的结论．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角证明；
（2）延长BP交AC于D，根据三角形的任何一个外角大于和它不相邻的内角进行证明；
（3）、（4）、（5）根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质进行证明．

解答：解：（1）∠BPC＞∠A；
（2）∠BPC＞∠A；
（3）∠BPC=90°+

1

2

∠A；
（4）∠BPC=

1

2

∠A；
（5）∠BPC=90°-

1

2

∠A；
（6）证明如下：
∠P=∠PCE-∠B=

1

2

（∠ACE-∠ABC）=

1

2

∠A．

点评：此题综合考查了三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．