Question

（2013•杭州）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，

3

cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值

t=2或3≤t≤7或t=8

（单位：秒）

Answer 1

分析：求出AB=AC=BC=4cm，MN=

1

2

AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；

解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．
∴N为BC中点，
∴MN=

1

2

AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分为三种情况：①如图1，
当⊙P切AB于M′时，连接PM′，
则PM′=

3

cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，
∴QP=4cm-2cm=2cm，
即t=2；
②如图2，
当⊙P于AC切于A点时，连接PA，
则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=

3

cm，
∴PM=1cm，
∴QP=4cm-1cm=3cm，
即t=3，
当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，
则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=

3

cm，
∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；

③如图3，
当⊙P切BC于N′时，连接PN′
则PN′=

3

cm，∠PN′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，
即t=8；
故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．

点评：本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．