Question

正方形ABCD的边长为4，点P是BC边上的动点，点E在AB边上，且∠EPB=60°，沿PE翻折△EBP得到△EB′P．F是CD边上一点，沿PF翻折△FCP得到△FC′P，使点C′落在射线PB′上．
（1）如图，当BP=1时，四边形EB′FC′的面积为______；
（2）若BP=m，则四边形EB′FC′的面积为______（要求：用含m的代数式表示，并写出m的取值范围）．

Answer 1

解：（1）∵BP=1，∠EPB=60°，
∴BE=B'E=，C'P=CP=BC-BP=3，∠C'PF=∠CPF=30°，
∴C'F=CF=CP×tan∠CPF=，C'B'=C'P-B'P=3-1=2，
故S_{四边形EB′FC′}=S_△EB'C'+S_△B'C'F=B'E×B'C'+C'F×B'C'=+=2；
（2））①∵BP=m，∠EPB=60°，
∴BE=B'E=m，C'P=CP=BC-BP=4-m，∠C'PF=∠CPF=30°，
∴C'F=CF=CP×tan∠CPF=（4-m），C'B'=C'P-B'P=4-m-m=4-2m，
故S_{四边形EB′FC′}=S_△EB'C'+S_△B'C'F=B'E×B'C'+C'F×B'C'
=×m×（4-2m）+×（4-m）×（4-2m）
=-m²+2m+m²-2m+
=-m²+（0＜m＜2）．
②当2＜m≤时，

EB'=EB=m，B'C'=m-（4-m）=2m-4，FC'=（4-m），
故S_{四边形EB′FC′}=S_△EB'c'+S_△B'C'F=B'E×B'C'+C'F×B'C'
=×m×（2m-4）+×（2m-4）×（4-m）
=m²-2m+（m-2）×（-m）
=m²-2m+m-m²-+m
=m²-（2＜m≤）．
故答案为：2；-m²+（0＜m＜2），m²-（2＜m≤）．
分析：（1）根据BP=1，∠EPB=60°，可得出BE=B'E=，CP=C'P=4-1=3，也可得出C'F，继而根据S_{四边形EB′FC′}=S_△EB'C'+S_△B'C'F可得出答案．
（2）将BP的长度换为m，按照（1）的思路分别求出各线段的长度，然后求面积即可．
点评：本题考查了正方形的性质及翻折变换的知识，利用解直角三角形的知识求出各线段的长度是解答本题的关键，另外要掌握翻折前后对应边、对应角分别相等．