Question

如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，点G在边BC上，AG的延长线交CE于点H，连接BH．
（1）求证：∠BAG=∠BCE；
（2）若AB=2BG，求的值；
（3）若AB=kBG，直接写出的值（用含k的代数式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四边形ABCD与BEFG是正方形，可得AB=CB，∠ABC=∠CBE=90°，GB=EB，然后由SAS即可判定△ABG≌△BCE，则可证得：∠BAG=∠BCE；
（2）由（1）易得△AHE是直角三角形，△AGB∽△CGH，继而可得△BGH∽△AGC，然后由相似三角形的对应边成比例，可得BH•AG=AC•BG，又由在Rt△AHE和Rt△ABG中，cosHAE==，可得AH•AG=AB•AE，则可求得=，又由AB=2BG，即可求得的值；
（3）由（2）可得=，又由AB=kBG，即可求得的值．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD与BEFG是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠CBE=90°，GB=EB，
在△ABG和△BCE中，
∵，
∴△ABG≌△BCE（SAS），
∴∠BAG=∠BCE；

（2）连接AC，
∵由（1）得：∠BAG=∠BCE，
∴∠BAG+∠BEH=∠BCE+∠BEH=180°-∠CBE=90°，
∴∠AHE=180°-（∠BAG+∠BEH）=90°
∵∠AGB=∠CGH，
∴△AGB∽△CGH，
∴，
∴，
∵∠BGH=∠AGC，
∴△BGH∽△AGC，
∴，
即BH•AG=AC•BG，
在Rt△AHE和Rt△ABG中，
∵cosHAE==，
∴AH•AG=AB•AE，
∴=，
∴=，
∵AB=2BG，
∴==；

（3）由（2）得：=，
∵AB=kBG，
∴∴==．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．