Question

（2012•内江）已知三个数x，y，z，满足

xy

x+y

=-2，

yz

y+z

=

4

3

，

zx

z+x

=-

4

3

，则

xyz

xy+xz+yz

=

-4

．

Answer 1

分析：将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出

xy+xz+yz

xyz

的值，从而得到

xyz

xy+xz+yz

的值．

解答：解：∵

xy

x+y

=-2，

yz

y+z

=

4

3

，

zx

z+x

=-

4

3

，
∴

x+y

xy

=-

1

2

，

y+z

yz

=

3

4

，

z+x

zx

=-

3

4

，

xy+xz+yz

xyz

=

1

x

+

1

y

+

1

z

，
整理得，

1

y

+

1

x

=-

1

2

①，

1

z

+

1

y

=

3

4

②，

1

x

+

1

z

=-

3

4

③，
①+②+③得，

2

y

+

2

x

+

2

z

=-

1

2

+

3

4

-

3

4

=-

1

2

，
则

1

x

+

1

y

+

1

z

=-

1

4

，
∴

xy+xz+yz

xyz

=-

1

4

，
于是

xyz

xy+xz+yz

=-4．
故答案为-4．

点评：本题考查了分式的化简求值，将分式的分子分母颠倒位置后计算是解题的关键．