Question

下面有三个命题：①五边形至少有两个钝角，②十二边形共有54条对角线，③内角和等于外角和的多边形的边数为4．其中正确命题的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①五边形内角和为540度，五个角平分，一个角为108度，可以都为钝角．又因外角和为360度，所以5个外角中不能有4个或5个钝角，外角中至多有3个钝角，即内角中最多有3个锐角，至少有2个钝角．
②多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n-3）条，n边形共有

n(n-3)

2

条对角线，根据以上关系直接计算即可．
③多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，从而可根据外角和等于内角和列方程求解．

解答：解：①∵五边形外角和为360度，
∴5个外角中不能有4个或5个钝角，外角中至多有3个钝角，即内角中最多有3个锐角，至少有2个钝角．
故五边形至少有两个钝角是正确的；
②十二边形从一个顶点出发可引出12-3=9条对角线，所有对角线的条数有

12(12-3)

2

=54条．
故十二边形共有54条对角线是正确的；
③设所求n边形边数为n，
则360°=（n-2）•180°，
解得n=4．
故内角和等于外角和的多边形的边数为4是正确的．
故正确命题的个数为3．
故选D．

点评：本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．