Question

在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a（x-1）²+k（a＞0）的图象与x轴相交于点A，B（点A在点B的左边），顶点为C，点D在这个二次函数图象的对称轴上，若四边形ABCD是一条边长为4且有一个内角为120°的菱形，求此二次函数的关系式？

Answer 1

分析：此题分为当∠ACB=120°时与当∠DAC=120°时去分析，由四边形ACBD是菱形，可得AB⊥CD，又由AC=CB=4，即可求得点C与B的坐标，继而求得此二次函数的关系式．

解答：解：当∠ACB=120°时，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，
∵AC=CB=4，
得C（1，-2），B（1+2

3

，0），
代入y=a（x-1）²+k中，
∴a=

1

6

，k=-2，
∴y=

1

6

（x-1）²-2．
当∠DAC=120°时，由四边形ACBD是菱形得，
得C（1，-2

3

），B（3，0），
代入y=a（x-1）²+k中，
∴a=

3

2

，k=-2

3

．
∴y=

3

2

（x-1）²-2

3

．
由图形的对称性可知：y=-

1

6

（x-1）²-2或y=-

3

2

（x-1）²-2

3

也符合题意，
∵a＞0，
∴二次函数的关系式为：y=

1

6

（x-1）²-2或y=

3

2

（x-1）²-2

3

．

点评：此题考查了菱形的性质，以及待定系数法求二次函数的解析式的知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．