Question

（1998•海淀区）已知：关于x的方程x²+3x-m=0的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有实数根．

Answer 1

分析：设方程x²+3x-m=0的两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-m，由x₁²+x₂²=11，变形得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=11，则9+2m=11，解得m=1，把m=1代入（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0得（k-3）x²+kx+1=0，讨论：当k=3，方程变形为3x+1=0，解得x=-

1

3

；当k≠3，△=k²-4（k-3）=k²-4k+12=（k-2）²+8＞0，则k无论为何实数，关于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有实数根．

解答：解：设方程x²+3x-m=0的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-m，
∵x₁²+x₂²=11，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=11，
∴9+2m=11，解得m=1，
且m=1，方程x²+3x-m=0有两个实数根，
∴m=1，
把m=1代入（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0得（k-3）x²+kx+1=0，
当k=3，方程变形为3x+1=0，解得x=-

1

3

，
当k≠3，△=k²-4（k-3）=k²-4k+12=（k-2）²+8，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+8＞0，
∴k≠3时，方程有两个不等实数根，
∴关于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判别式．