Question

已知抛物线y=x²与动直线y=（2t-1）x-c有公共点（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁²+x₂²=t²+2t-3．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的图象性质可以知道抛物线y=x²的图象开口向上最低点为原点，它与直线有交点则可以联立求解方程有两个实数根，便可一切定出t的取值范围．
（2）有（1）中可知c可以用含有t的代数式来表示，利用二次函数求最值的相关知识求解．

解答：解：（1）联立y=x²与y=（2t-1）x-c，
消去y得二次方程x²-（2t-1）x+c=0①
有实数根x₁，x₂，则x₁+x₂=2t-1，x₁x₂=c．
所以c=x1x2=

1

2

[(x1+x2)2-(

x

2 1

+

x

2 2

)]
=

1

2

[(2t-1)2-(t2+2t-3)]=

1

2

(3t2-6t+4)②
把②式代入方程①得x2-(2t-1)x+

1

2

(3t2-6t+4)=0③
t的取值应满足t²+2t-3=x₁²+x₂²≥0，④
且使方程③有实数根，即△=（2t-1）²-2（3t²-6t+4）=-2t²+8t-7≥0，⑤
解不等式④得t≤-3或t≥1，
解不等式⑤得2-

2

2

≤t≤2+

2

2

．
所以，t的取值范围为2-

2

2

≤t≤2+

2

2

（t≠

1

2

）⑥

（2）由②式知c=

1

2

(3t2-6t+4)=

3

2

(t-1)2+

1

2

．
由于c=

3

2

(t-1)2+

1

2

在2-

2

2

≤t≤2+

2

2

时是递增的，
所以，当t=2-

2

2

时，cmin=

3

2

(2-

2

2

-1)2+

1

2

=

11-6 2

4

．
答：当t=2-

2

2

时，c有最小值：cmin=

3

2

(2-

2

2

-1)2+

1

2

=

11-6 2

4

．

点评：本题主要考查了二次函数的图象性质，以及二次函数求最值的相关知识．