Question

如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作，垂足为E.

（1）证明：DE为⊙O的切线；

（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.

Answer 1

证明：连接OD.

∵OB=OD,

∴∠OBD=∠ODB.

又∵∠A=∠B=30°,

∴∠A=∠ODB,

∴DO∥AC．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE．

∴DE为⊙O的切线．

（2）（本小问4分）

连接DC．

∵∠OBD=∠ODB=30°，

∴∠DOC=60°．

∴△ODC为等边三角形．

∴∠ODC=60°，

∴∠CDE=30°．

又∵BC=4，

∴DC=2,

∴CE=1．

方法一：

过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F．

∵∠ECF=∠A+∠B=60°,

∴EF=CE·sin60°=1×=．

∴S_△OEC  

方法二：

过点O作OG⊥AC，交AC的延长线于点G．

∵∠OCG=∠A+∠B=60°，

∴OG=OC·sin60°=2×=．

∴S_△OEC  

方法三：

∵OD∥CE，

∴S_△OEC = S_△DEC．

又∵DE=DC·cos30°=2×=,

∴S_△OEC