Question

如图，正方形纸张ABCD面积为100cm²，对折一下使D落在BC的D′上，且2D′C=BD′
（1）求DF的长；
（2）求折痕EF的长．

Answer 1

解：（1）∵正方形纸张ABCD面积为100cm²，
∴CD=CB=10cm，
∵2D′C=BD′，
∴CD′=cm，BD′=cm，
∵正方形纸张ABCD对折使D落在BC的D′上
∴FD′=FD，A′D′=AD=10cm，
设DF=x，则FD′=x，FC=10-x，
在Rt△FCD′中，FC²+CD′²=FD′²，即（10-x）²=（）²+x²，解得x=，
∴DF的长为cm；

（2）∵DF=cm，
∴FC=cm，
设A′D′交AB于G点，如图，
∵∠FD′A′=∠B=90°，
∴∠GD′B+∠FD′C=90°，
而∠FD′C+∠D′FC=90°，
∴∠GD′B=∠D′FC，
∴Rt△GD′B∽Rt△D′FC，
∴=，即=，解得GB=5，
∴GD′==，
∴A′G=A′D′-GD′=10-=，
∵∠A′GE=∠BGD′，
∴Rt△A′GE∽Rt△BGD′，
∴=，即=，解得A′E=，
∴AE=DH=，
∴HF=DF-DH==，
过E作EH⊥DC于H，如图，
在Rt△HEF中，EH=AD=10，
EF==（cm）．
分析：（1）根据正方形的性质得CD=CB=10cm，由2D′C=BD′得到CD′=cm，BD′=cm，再根据折叠的性质得FD′=FD，A′D′=AD=10cm，设DF=x，则FD′=x，FC=10-x，利用勾股定理可计算出x=；
（2）设A′D′交AB于G点，过E作EH⊥DC于H，由DF=cm得FC=cm，易证Rt△GD′B∽Rt△D′FC，利用相似比可计算出GB=5，根据勾股定理计算出GD′=，则A′G=，再证明Rt△A′GE∽Rt△BGD′，利用相似比得A′E=，则AE=DH=，所以HF=DF-DH==，在Rt△HEF中，根据勾股定理可计算出EF．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；也考查了勾股定理、正方形的性质以及相似三角形的判定与性质．