题目内容

已知抛物线y=x2-x-2．
（1）求抛物线顶点M的坐标；
（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）将已知的抛物线解析式化为顶点坐标式，即可求出抛物线顶点M的坐标．
（2）根据抛物线的解析式可求出A、B、C三点的坐标，进而可求出直线BM的解析式，已知了QN=t，即N点纵坐标为-t，代入直线BM的解析式中，可求得Q点的横坐标即OQ得长，分别求出△OAC、梯形QNCO的面积，它们的面积和即为所求的四边形QNCO的面积，由此可求出S、t的函数关系式．
（3）根据函数的图象及A、C的位置，可明显的看出∠APC不可能是直角，因此此题要分两种情况讨论：
①∠PAC=90°，设出点P的坐标，然后表示出AC2、PA2、PC2的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标；
②∠PCA=90°，解法同①．
解答：精英家教网解：（1）∵抛物线y=x2-x-2=（x-
1
2
）2-
9
4
，
∴顶点M的坐标为(
1
2
，-
9
4
)．（1分）

（2）抛物线与y=x2-x-2与x轴的两交点为A（-1，0），B（2，0），
设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
∴
2k+b=0
1
2
k+b=-
9
4
，
解得
k=
3
2
b=-3
；
∴线段BM所在直线的解析式为y=
3
2
x-3，（2分）
设点N的坐标为（x，-t）．
∵点N在线段BM上，
∴-t=
3
2
x-3．
∴x=-
2
3
t+2．
∴S四边形NQAC=S△AOC+S梯形OQNC
=
1
2
×1×2+
1
2
(2+t)(-
2
3
t+2)=-
1
3
t2+
1
3
t+3．（3分）
∴S与t之间的函数关系式为S=-
1
3
t2+
1
3
t+3，自变量t的取值范围为0＜t＜
9
4
．（4分）

（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则m＞
1
2
且n=m2-m-2；
PA2=（m+1）2+n2，PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，
分以下几种情况讨论：
①若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2．
∴
n=m2-m-2
m2+(n+2)2=(m+1)2+n2+5
，
解得m1=
5
2
，m2=-1；
∵m＞
1
2
，
∴m=
5
2
，
∴P1(
5
2
，
7
4
)；（6分）
②若∠PCA=90°，则PA2=PC2+AC2
∴
n=m2-m-2
(m+1)2+n2=m2+(n+2)2+5
，
解得m3=
3
2
，m4=0，
∵m＞
1
2
，
∴m=
3
2
，
∴P2(
3
2
，-
5
4
)；
当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，
所以边AC的对角∠APC不可能是直角，
∴存在符合条件的点P，且坐标为P1(
5
2
，
7
4
)，P2(
3
2
，-
5
4
)．（8分）
点评：此题是二次函数的综合题，考查了二次函数顶点坐标及函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、直角三角形的判定、勾股定理等知识，要注意的是（3）题一定要根据不同的直角顶点分类讨论，以免漏解．
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