题目内容
如图，抛物线y=-
x2+c与x轴分别交于点A、B，直线y=-
x+
过点B，与y轴交于点E，并与抛物线y=-
x2+c相交于点C．（1）求抛物线y=-
x2+c的解析式；（2）直接写出点C的坐标；
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动（不与点A、B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动．设点M的运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？
【答案】分析：（1）求出点B的坐标，代入抛物线解析式可求出c的值，继而得出抛物线的解析式；
（2）联立抛物线与直线解析式可求出交点坐标；
（3）求出sin∠EBO，过点N作NF⊥x轴于点F，继而可表示出NF，根据S△MNB=
BM×NF，可求出S与t的函数关系式，利用配方法可求出最大值．
解答：
解：（1）∵直线y=-
x+
过点B，
∴点B的坐标为（2，0），
将点B的坐标代入抛物线解析式可得：0=-
×22+c，
解得：c=3；
（2）联立抛物线及直线解析式可得：
，
解得：
或
，
故点C的坐标为（-1，
）．
（3）由直线解析式可得点E坐标为（0，
），
在Rt△BOE中，BE=
=
，
则sin∠EBO=
=
，
过点N作NF⊥x轴于点F，
设点M的运动时间为t秒，则AM=t，BN=2t，
则BM=4-t，NF=BN×sin∠EBO=
t，
S△MNB=
BM×NF=
（4-t）×
t=-
t2+
t=-
（t-2）2+
（0＜t＜4），
故当t=2时，S取得最大，最大值为
．
综上可得：S=-
t2+
t，当点M运动2秒时，△MNB的面积最大，最大面积是
．
点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与一次函数的交点问题，本题的难点在第三问，需要同学们利用三角函数的知识表述出△MNB的高，这类题目一般以压轴题出现，同学们应注意培养自己解答综合题的能力．
（2）联立抛物线与直线解析式可求出交点坐标；
（3）求出sin∠EBO，过点N作NF⊥x轴于点F，继而可表示出NF，根据S△MNB=
BM×NF，可求出S与t的函数关系式，利用配方法可求出最大值．解答：
解：（1）∵直线y=-
x+
过点B，∴点B的坐标为（2，0），
将点B的坐标代入抛物线解析式可得：0=-
×22+c，解得：c=3；
（2）联立抛物线及直线解析式可得：
，解得：
或
，故点C的坐标为（-1，
）．（3）由直线解析式可得点E坐标为（0，
），在Rt△BOE中，BE=
=
，则sin∠EBO=
=
，过点N作NF⊥x轴于点F，
设点M的运动时间为t秒，则AM=t，BN=2t，
则BM=4-t，NF=BN×sin∠EBO=
t，S△MNB=
BM×NF=
（4-t）×
t=-
t2+
t=-
（t-2）2+
（0＜t＜4），故当t=2时，S取得最大，最大值为
．综上可得：S=-
t2+
t，当点M运动2秒时，△MNB的面积最大，最大面积是
．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与一次函数的交点问题，本题的难点在第三问，需要同学们利用三角函数的知识表述出△MNB的高，这类题目一般以压轴题出现，同学们应注意培养自己解答综合题的能力．
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