Question

对于每个非零自然数n，抛物线y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_nB_n两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉+A₂₀₁₀B₂₀₁₀的值是______．

Answer 1

∵抛物线y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_nB_n两点，
∴令y=0得，x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0
∴方程分解为：（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0，
∴A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

，
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉+A₂₀₁₀B₂₀₁₀=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

．