Question

已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC=60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG=60°，连接CG，当点E在线段BC上时（如图1）易证：AB=CG+CE．当点在E线段BC的延长线上时（如图2），猜想AB、CG、CE之间的关系并证明；当点在E线段CB的延长线上时（如图3），猜想AB、CG、CE之间的关系．

Answer 1

（1）AB=CG-CE
证明：∵AC是菱形ABCD的对角线且∠BAC=60°，
∴AC=AD．
∵四边形AEFG菱形，
∴．
∵∠DAC=∠GAE=60°，
∴∠DAG=∠CAE．
在△ACE和△ADG中，
∴△ACE≌△ADG（SAS），
∴CE=DG．
∴AB=CD=CG-DG=CG-CE；

（2）AB=CE-CG．
同理可证△ACG≌△ABE，
∴BE=CG．
∴AB=CB=CE-BE=CE-CG．
分析：（1）根据菱形的性质可得AC=AD，AE=AG，然后证明∠DAG=∠CAE，可利用SAS证明△ACE≌△ADG，根据全等三角形的性质可得CE=DG，再根据线段的和差关系和等量代换可得答案；
（2）方法与（1）类似可证明△ACG≌△ABE，进而得到BE=CG，然后可得AB=CE-CG．
点评：此题主要考查了菱形的性质，以及等边三角形的性质，关键是掌握菱形的四边相等．