Question

已知二次函数：
(1) 证明：当m为整数时，抛物线与x轴交点的横坐标均为整数；
(2) 以抛物线的顶点A为等腰Rt△的直角顶点，作该抛物线的内接等腰Rt△ABC（B、C两点在抛物线上），求Rt△ABC的面积（图中给出的是m取某一值时的示意图）；
(3) 若抛物线与直线y＝7交点的横坐标均为整数，求整数m的值.

Answer 1

（1）证明：令 ，解得抛物线与轴交点的横坐标x,
，
∵m是整数，∴是整数，∴均为整数
（2） 求得顶点A（2m， ），根据抛物线的轴对称性，所以BC平行x轴，
作AD⊥BC，设B（a，b），则D在对称轴上，D（2m，b），
则BD＝2m－a,（2m＞a），
AD＝－b
＝＝(2m－a)²
∵AD＝BD, ∴(2m－a)²＝(2m－a), 解得2m－a＝1或2m－a＝0（舍去）
∴S_△ABC＝BCAD＝×2BD×AD＝1

（3）由，，
当x为整数时，须为完全平方数，设 （n是整数）整理得：即
两个整数的积为7，∴~~~
解得： 综上得： m＝3或m＝－1
∴抛物线与直线y＝7交点的横坐标均为整数时，m＝3或m＝－1.

解析