Question

已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点M、N分别是AB、BC边的中点．求证：直线MN是线段BD的垂直平分线．

Answer 1

证明：如右图所示，连接DM、DN，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，M是AB的中点，
∴DM=AB=BM，
又在Rt△BDE中，N是BC的中点，
∴DN=BC=BN，
∴MN是线段BD的垂直平分线．
分析：先连接DM、DN，由于BD⊥AC，那么∠ADB=90°，于是在Rt△ADB中，M是AB的中点，可得DM=AB=BM，可证M在线段BD垂直平分线上，同理可证N线段BD垂直平分线上，从而可知MN是BD垂直平分线．
点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质．解题的关键是连接DM、DN．