题目内容
如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是（ ）分析：根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC和∠BAD，根据等腰三角形的判定即可判断A；根据AD=BD即可判断B；在AB上截取AE=AC，连接DE，证△EAD≌△CAD，推出DE=DC，∠C=∠AED=72°，求出CD=DE=BE，即可判断C、D．
解答：解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，
∴∠BAC=180°-36°-72°=72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB=36°，
即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，
∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本选项错误；
B、∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴D在AB的垂直平分线上，故本选项错误；
C、在AB上截取AE=AC，连接DE，
在△EAD和△CAD中
∴△EAD≌△CAD，
∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，
∵∠B=36°，
∴∠EDB=72°-36°=36°=∠B，
∴DE=BE，
即AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；
D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，
∴BD＜2DC，故本选项正确；
故选D．
∴∠BAC=180°-36°-72°=72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB=36°，
即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，
∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本选项错误；
B、∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴D在AB的垂直平分线上，故本选项错误；
C、在AB上截取AE=AC，连接DE，
在△EAD和△CAD中
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∴△EAD≌△CAD，
∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，
∵∠B=36°，
∴∠EDB=72°-36°=36°=∠B，
∴DE=BE，
即AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；
D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，
∴BD＜2DC，故本选项正确；
故选D．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．
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