Question

如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为8，AE=x，BF=y，求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件可以得出∠A=∠B，∠AED=∠EBF，从而得出△ADE∽△BEF；
（2）由（1）的结论可以得出

AE

BF

=

AD

BE

，然后将AE=x，BF=y的值代入等式就可以表示出y的代数式．自变量的取值范围为：0＜x＜8．

解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠EBF=90°，AD=AB，
∴∠ADE+∠DEA=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠FEB=90°，
∴∠ADE=∠FEB，
∴△ADE∽△BEF；
   
（2）∵△ADE∽△BEF，
∴

AE

BF

=

AD

BE

．
∵AD=AB=8，
∴BE=8-x，
∴

x

y

=

8

8-x

∴y=-

1

8

x²+x．
自变量x的取值范围是（0＜x＜8）．

点评：本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质的运用．