Question

【题目】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中，.

（1）操作发现

①固定，使绕点C旋转.当点D恰好落在AB边上时（如图2）；线段DE与AC的位置关系是________，请证明；

②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是________.

（2）猜想论证

当绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，请你分别作出和中BC、CE边上的高，并由此证明小明的猜想.

（3）拓展探究

己知，点D是其角平分线上一点，，交BC于点E（如图4），请问在射线BA上是否存在点F，使，若存在，请直接写出符合条件的点F的个数，若不存在，请说明理由.

图1 图2

图3 图4

Answer 1

【答案】（1） 理由见解析，；（2）见解析；（3）存在两个.

【解析】

（1）①根据旋转的性质可得，然后求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据内错角相等，两直线平行解答；

②根据等边三角形的性质可得AC＝AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC＝AB，然后求出AD＝BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；

（2）根据旋转的性质可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．

（3）过点D作，求出四边形是菱形，根据菱形的对边相等可得，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点为所求的点，过点D作，求出，从而得到是等边三角形，然后求出，再求出，利用“边角边”证明全等，根据全等三角形的面积相等可得点也是所求的点．

（1）①，

下面证明：由题意，又由旋转得，

所以是等边三角形.

所以，于是，所以.

②∵AC＝AB，AD＝AC，

∴AD＝BD，

∴

∵DE∥AC，

∴，

∴.

故答案为：DE∥AC，．

（2）如图，

∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，

∴BC＝CE，AC＝CD，

∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°90°＝90°，

∴∠ACN＝∠DCM，

在和中，

，

∴（AAS），

∴AN＝DM，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即．

（3）如图，过点D作交AB于．

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，

∴，

∵，

∴ ，

∴，

∴，

∴四边形是菱形，

∴，

∵BE、上的高相等，

∴,

∴点是所求的点；

过点D作，

∵,，

∴

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵BD＝CD，

∴∠DBC＝∠DCB＝30°，

∴

∴，

＝360°150°60°＝150°，

∴，

∵在和中，

∴（SAS），

∴

∵,

∴

∴点也是所求的点，

∴在射线BA上存在点F的个数有两个.