Question

如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′O都是边长为2cm的正方形，AC与BD交于点O，将正方形A′B′C′O绕点O按逆时针旋转，其中阴影部分为两正方形的重叠部分．
（1）当点O、A、A′在同一直线上时（如图①）阴影部分面积为______．
（2）当O A′⊥AB时（如图②）阴影部分面积为______．
（3）当O A′与AB不垂直相交时（如图③）请你猜想阴影部分的面积是多少？并证明你的结论．
（4）根据以上信息你能得到什么结论？

Answer 1

解：（1）如图：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB=BD，BD⊥AC，∠DAB=90°，
∵正方形ABCD的边长为2cm
∴BD==2（cm），
∴OC=OD=cm，
∴S_阴影=S_△BOC=×OB×OC=××=1（cm²）；

（2）∵四边形ABCD和四边形A′B′C′O都是边长为2cm的正方形，
∴OA=OC，AB∥CD，BC=DC=2cm，∠BCD=90°，
∵O A′⊥AB，
∴OA′⊥CD，
∴∠CEO=∠EOC′=∠ECF=90°，
∴四边形EOFC是矩形，
∴OE∥AD，OF∥AB，
∴OE：AD=OC：AC=OF：AB，
∴OE=AD=1（cm），OF=AB=1（cm），
∴OE=OF，
∴四边形EOFC是正方形，
∴S_阴影=S_{正方形EOFC}=OE•OF=1（cm²）；

（3）1cm²．
证明：∵四边形ABCD和四边形A?B?C?O都是正方形，
∴OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠A?OC?=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴S_△AOE=S_△BOF，
∴S_阴影=S_△AOB=1cm^2_；

（4）正方形A?B?C?O绕点O无论怎样移动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的（或正方形A?B?C?O绕点O无论怎样转动，阴影部分的面积总等于1cm²）
故答案为：（1）1cm²；（2）1cm²．
分析：（1）由四边形ABCD和四边形A′B′C′O都是边长为2cm的正方形，易求得OC与OB的长，继而求得阴影部分面积；
（2）首先根据题意证得四边形EOFC是正方形，则可求得阴影部分面积；
（3）首先证得△AOE≌△BOF，然后利用（1）的结论，即可求得答案；
（4）结论为：正方形A?B?C?O绕点O无论怎样移动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的．
点评：此题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意旋转中的对应关系．