Question

已知M是△ABC内一点，且∠BMC=90°+

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∠BAC，又直线经过△BMC的外接圆的圆心O，试证明：点M是△ABC内切圆的圆心．

Answer 1

分析：设∠BAC=2α，可证明A、B、O、C四点共圆，则∠ABC=∠AOC=2∠MPC，则BM平分∠ABC．同理可证CM平分∠ACB，点M是△ABC的内心．

解答：证明：如图，设∠BAC=2α，则∠BMC=90°+α，
∠BOC=2∠BPC=2（180°-∠BMC）=2[180°-（90°+α）]=180°-2α，
∴∠BAC+∠BOC=180°，∴A、B、O、C四点共圆，
于是∠ABC=∠AOC=2∠MPC，
∵∠MPC=∠MBC，∴∠ABC=2∠MBC，
即

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∠ABC=∠MBC，∴BM平分∠ABC．
同理可证CM平分∠ACB，
∴点M是△ABC的内心．

点评：本题考查了三角形的内切圆和四点共圆问题．是综合题，难度较大．