Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，O为斜边AB上的一点，以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F，若AC=1，BC=3，则⊙O的半径为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：如图，连接OE，OF，设圆的半径为R，OE=OF=R，根据已知条件可以推出则四边形AFOE是正方形，从而得到OF∥AC，可得△OBF∽△ABC，可得OF：AC=FB：BC，由此可以把BF用R表示，同理AE也可以用R表示，然后由勾股定理得，AO=R，BO=R，AB=，由此即可求出R．
解答：解：如图，连接OE，OF，
设圆的半径为R，
∴OE=OF=R，
∵以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F，
∴四边形AFOE是正方形，
∴OF∥AC，
∴△OBF∽△ABC，
∴OF：AC=FB：BC，
∴BF=3R，
同理，AE=R，
由勾股定理得，AO=R，BO=R，AB=，
∵AO+BO=AB，
∴R=．
故选C．
点评：本题利用了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理求解，有一定的难度．