Question

若关于x的方程（k-1）x²-2kx+k+3=0有实数根．求k的取值范围．

Answer 1

解：当k-1=0，即k=1，并且-2k≠0，所以原方程变为一元一次方程，有解，满足条件；
当k-1≠0，且△≥0，即△=4k²-4（k-1）（k+3）=4（3-2k）≥0，方程有实数根，
解两个不等式得k≤且k≠1；
综上所述，k的取值范围为k≤．
分析：要分类讨论：若k-1=0，而-2k≠0，原方程变为一元一次方程，有解；当k-1≠0，且△≥0，即△=4k²-4（k-1）（k+3）=4（3-2k）≥0，方程有实数根，得到k≤且k≠1，最后综合得到k的取值范围．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元一次方程和一元二次方程的定义以及分类讨论思想的运用．