Question

【题目】已知抛物线（是常数）经过点.

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）P(m，t)为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为.

①当点落在该抛物线上时，求的值；

②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值.

Answer 1

【答案】（1），顶点的坐标为（1，-4）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：(1) 抛物线经过点，代入求得b值即可求得抛物线的解析式，把抛物线化为顶点式，直接写出顶点坐标即可；（2）①由点P(m，t)在抛物线上，可得，

关于原点的对称点为，可得P’（-m，-t），即可得，所以，解方程即可求得m的值；②构造与t的二次函数模型，根据二次函数的性质求得的值最小是t的值，再代入二次函数中求得m的值即可.

试题解析：(1)∵抛物线经过点，

∴0=1-b-3，解得b=-2.

∴抛物线的解析式为，

∵，

∴顶点的坐标为（1，-4）.

(2)①由点P(m，t)在抛物线上，有.

∵关于原点的对称点为，有P’（-m，-t）.

∴，即

∴

解得

②由题意知，P’（-m，-t）在第二象限，

∴-m<0，-t>0，即m>0，t<0.

又抛物线的顶点的坐标为（1，-4），得-4≤t<0.

过点P’作P’H⊥x轴，H为垂足，有H（-m，0）.

又，，

则

当点A和H不重合时，在Rt△P’AH中，

当点A和H重合时,AH=0, ，符合上式.

∴，即

记，则，

∴当t=-时，y’取得最小值.

把t=-代入，得

解得

由m>0，可知不符合题意

∴.