Question

已知正方形纸片ABCD的边长为2．如图，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）求证：△DEP与△CPG相似；
（2）当点P位于CD中点时，求：△DEP与△CPG周长的比；
（3）在（2）的条件下，求证：以P为圆心，以1为半径的圆与直线EG相切．

Answer 1

分析：（1）根据题意，∠EPG=90°，可得∠EPD+∠CPG=90°，又∠EPD+∠PED=90°，所以∠CPG=∠PED．加上∠C=∠D，可得△EDP∽△PCG；
（2）根据相似三角形性质求解．因为CP=1，所以需求对应边DE的长度．设DE=x，则AE=EP=2-x，根据勾股定理可求；
（3）连接EG，过P作PH⊥EG交于H，由（2）中的数据利用勾股定理分别求出PG和EG的长，根据直角三角形EPG的面积等于

1

2

PE•PG=

1

2

PH•EG，从而可求出PH的长为1，恰好为圆的半径，所以以P为圆心，以1为半径的圆与直线EG相切．

解答：（1）证明：（如图1所示）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠知∠EPQ=∠A=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3．
∴△DEP∽△CPG；

（2）解：（如图2所示）
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2．
设AE=x，则ED=2-x，EP=x．
∵P是CD的中点，
∴DP=PC=1．
在Rt△EDP中，∠D=90°，
根据勾股定理得：x²=（2-x）²+1，
解得 x=

5

4

，
∴ED=

3

4

，
∵△PCG∽△EDP，
∴

PC

ED

=

1 3

4

=

4

3

，
∴△DEP与△CPG周长的比是3：4；
（3）证明：连接EG，过P作PH⊥EG交于H，（如图2）
∵△PCG∽△EDP，
∴

PC

DE

=

CG

DP

，
∴

1

3 4

=

CG

1

，
∴CG=

4

3

，
∴PG=

CG2+CP2

=

5

3

，
∵AE=EP=

5

4

，
∴EG=

PE2+PG2

=

25

12

，
∴PH=

PE•PG

EG

=

5 4 × 5 3

25 12

=1，
∴圆心到直线的距离等于1，
∴以P为圆心，以1为半径的圆与直线EG相切．

点评：此题考查了翻折变换、勾股定理及正方形的性质以及相似三角形的判定和性质和圆的切线的判定，综合性较强，解答本题的关键是要求我们熟练勾股定理在解直角三角形中的应用，及翻折变换的性质，难度较大．