Question

如图，在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=

3

5

，点M在AB上运动，MP∥AC交BC于P，MQ⊥AC于Q，设AM=x，梯形MPCQ的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）当梯形MPCQ的面积为4时，求x的值；
（3）梯形MPCQ的面积是否有最大值，如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先过点C作CK⊥AB于K，由在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=

3

5

，即可求得△ABC的高CK，继而求得△ABC的面积，又由MQ⊥AC，设AM=x，即可表示出△AMQ的面积，然后由MP∥AC，可得△BPM∽△BCA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，表示出△BPM的面积，由y=S_梯形MPCQ=S_△ABC-S_△AMQ-S_△BPM，即可求得y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）根据（1），由y=4，列方程即可求得x的值；
（3）根据（1），利用配方法，根据二次函数的最值问题，即可求得答案．

解答：解：（1）过点C作CK⊥AB于K，
∵在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=

3

5

，
∴

AK

AC

=

3

5

，
∴AK=

18

5

，
∴CK=

24

5

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CK=

1

2

×12×

24

5

=

144

5

，
∵AM=x，MQ⊥AC于Q，
∴AQ=AM•cosA=

3

5

x，
∴QM=

4

5

x，
∴S_△AMQ=

1

2

AQ•MQ=

1

2

×

3

5

x×

4

5

x=

6

25

x²，
∵MP∥AC，
∴△BPM∽△BCA，
∴

S△BPM

S△BCA

=（

BM

AB

）²=（

12-x

12

）²，
∴S_△BPM=

(12-x)2

5

，
∴y=S_梯形MPCQ=S_△ABC-S_△AMQ-S_△BPM=

144

5

-

6

25

x²-

(12-x)2

5

=-

11

25

x²+

24

5

x，
∴y关于x的函数表达式为：y=-

11

25

x²+

24

5

x，自变量x的取值范围为：（0＜x＜10）；

（2）若y=4，
则-

11

25

x²+

24

5

x=4，
解得：x₁=

10

11

，x₂=10（舍去），
∴x的值为：

10

11

；

（3）有．
理由：∵y=-

11

25

x²+

24

5

x=-

11

25

（x-

60

11

）²+

144

11

，
∴当x=

60

11

时，y最大，最大值为：

144

11

，
∴梯形MPCQ的面积有最大值为：

144

11

．

点评：此题考查了二次函数的综合应用问题，考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．