题目内容

已知抛物线y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（ ）
A．y1，y2开口方向，开口大小不一定相同
B．y1，y2的对称轴相同
C．如果y1与x轴有两个不同的交点，则y2与x轴也有两个不同的交点
D．如果y2的最大值为m，则y1的最大值为km
【答案】分析：根据题中给出的“友好抛物线”的定义结合二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．
解答：解：A、当a1与a2符号相反时其开口方向相反，当|a1|≠|a2|时，两抛物线开口大小不同，故本选项正确；
B、∵，∴-=-，∴y1与y2的对称轴相同，故本选项正确；
C、∵y1与x轴有两个不同的交点，∴△=b12-4a1c1＞0，∵抛物线y2中，△=b22-4a2c2=k2（b12-4a1c1）＞0，故选项正确；
D、∵如果y2的最值是m，∴y1的最值是=k•=km，当k＜0时，y1的最小值为km．故选项错误．
故选D．
点评：本题考查的是二次函数的性质，先根据题意理解“友好抛物线”的定义是解答此题的关键．
练习册系列答案
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如图1，已知抛物线y=ax2-2ax+b经过梯形OABC的四个顶点，若BC=10，梯形OABC的面积为18．
（1）求抛物线解析式；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，平移后的两条直线分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2-x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）如图3，设图1中点D坐标为（1，3），M为抛物线的顶点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（2013•南昌）已知抛物线yn=-（x-an）2+an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An-1（bn-1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=-（x-a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．
（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为（
9
9
，
9
9
）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（
n2
n2
，
n2
n2
）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是
y=x
y=x
；
（3）探究下列结论：
①若用An-1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An-1An；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
（2013•余姚市模拟）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（3，5）、（2，8）、（0，8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）已知抛物线y1=a1x2+b1x+c1（a1≠0），y2=a2x2+b2x+c2（a2≠0），且满足
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
=k(k≠0，1)，则我们称抛物线y1与y2互为“友好抛物线”，请写出当k=-
1
2
时第（1）小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这友好抛物线的顶点坐标．

已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（3，5）、（2，8）、（0，8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）已知抛物线y1=a1x2+b1x+c1（a1≠0），y2=a2x2+b2x+c2（a2≠0），且满足数学公式，则我们称抛物线y1与y2互为“友好抛物线”，请写出当数学公式时第（1）小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这友好抛物线的顶点坐标．
已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（3，5）、（2，8）、（0，8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）已知抛物线y1=a1x2+b1x+c1（a1≠0），y2=a2x2+b2x+c2（a2≠0），且满足，则我们称抛物线y1与y2互为“友好抛物线”，请写出当时第（1）小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这友好抛物线的顶点坐标．

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