Question

（2013•怀柔区二模）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM．
（1）当M点在何处时，AM+CM的值最小；
（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为

3

+1时，求正方形的边长．

Answer 1

分析：（1）根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；
（2）根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图）；
（3）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为

2

．

解答：解：（1）当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小．

（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小．
理由如下：
∵M是正方形ABCD对角线上一点
∴AM=CM
又AB=BC，BM=BM
∴△ABM≌△CBM
∴∠BAM=∠BCM      
又BE=BA=BC
∴∠BEC=∠BCM
∴∠BEC=∠BAM

在EC上取一点N使得EN=AM，连结BN
又∵EB=AB
∴△BNE≌△ABM…（3分）
∴∠EBN=∠ABM，BN=BM
又∵∠EBN+∠NBA=60°
∴∠ABM+∠NBA=60°
即∠NBM=60°
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．

（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F
∴∠EBF=90°-60°=30°
设正方形的边长为x，则BF=

3

2

x，EF=

x

2

在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴（

x

2

）²+（

3

2

x+x）²=(

3

+1)2．
解得，x=

2

（舍去负值）．
∴正方形的边长为

2

．

点评：本题考查轴对称的性质和正方形的性质，是一道综合性的题目，难度较大．