Question

如图，点A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P，且FG=FB=3．则以下四个结论：①BF=EF；②PA⊥OA；③tan∠P=；④OC=3，上述结论中正确的有　　　　　　（填番号）．

　

Answer 1

①②④　（填番号）．

 

【考点】圆的综合题．

【分析】①正确，根据AD∥EB得即可证明．②正确，只要证明∠FAB+∠OAB=90°即可．③错误，求出AH，FH，根据tan∠P=tan∠AFH===，即可解决问题．④正确，在RT△ADO中利用勾股定理即可求出半径．

【解答】解：如图连接AO、AB、BG作FH⊥AD于H，

∵EB是切线，AD⊥BC

∴∠EBC=∠ADC=90°，

∴AD∥EB，

∴，

∵AG=GD，

∴EF=FB故①正确，

∵BC是直径，

∴∠BAC=∠BAE=90°，∵EF=FB，

∴FA=FB=FE=FG=3，

∴∠FAB=∠FBA，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵∠FBA+∠ABO=90°，

∴∠FAB+∠OAB=90°，

∴PA是⊙O的切线，故②正确．

∵FA=FG，FH⊥AG，

∴AH=HG，

∵∠FBD=∠BDH=∠FHD=90°，

∴四边形FBDH是矩形，

∴FB=DH=3，

∵AG=GD，

∴AH=HG=1，GD=2，FH==2，

∵FH∥PD，

∴∠AFH=∠APD，

∴tan∠P=tan∠AFH===，故③错误，

设半径为r，在RT△ADO中，∵AO²=AD²+OD²，

∴r²=4²+（r﹣2）²，

∴r=3故④正确，

故答案为①②④．

【点评】本题考查圆的有关知识、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，体现了转化的思想，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．