Question

已知关于x的方程x²+bx+c=0有两个实数根x₁，x₂，且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．结论：①b＜1；②bc＞0；③b²-4c＞0；④b²-2（b+2c）＞0．其中正确的有________．

Answer 1

①③④
分析：根据已知得到二次函数y=x²+bx+c与x轴交于两点，x₂＞x₁＞0，b²-4ac=b²-4c＞0，x₁•x₂=c＞0，-＞0，推出b＜0，即可求出答案．
解答：∵关于x的方程x²+bx+c=0有两个实数根x₁，x₂，且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1，
∴二次函数y=x²+bx+c与x轴交于两点，x₂＞x₁＞0，
△=b²-4c＞0，∴③正确；
∴x₁•x₂=c＞0，-＞0，
∵x₂-x₁＞1，
∴b＜0，bc＜0，∴①正确；②错误；
∵b²-4c＞0，b＜0，
∴-2b＞0，
∴b²-2（b+2c）=b²-4c-2b＞0，∴④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，根的判别式，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据已知和性质得出相关的正确结论是解此题的关键．