Question

【题目】如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题：

（1）求圆心的坐标；

（2）在上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在符合条件的点：，，，

【解析】

（1）如图（见解析），过作轴于，先确定AB是圆O的直径，再根据垂径定理可得，根据中位线定理可知，从而可得点C的坐标；

（2）如图（见解析），作的垂直平分线，交圆于，交于，连接，根据垂直平分线的性质可知点符合要求，再根据圆周角定理和直角三角形的性质求出的度数；最后再分析当OB为所求等腰三角形的腰时点P的位置即可.

（1）如图，过作轴于

∴是圆的直径

则（垂径定理），（中位线定理）

即；

（2）如图，作的垂直平分线，交圆于，交于，连接

则，都是等腰三角形，即、均符合点的要求

由垂径定理知：必过点，即是圆的直径

∴，

在中，，

∴

同理可得

是等边三角形

故当点P在OB的上方时，不需要考虑OB为腰的情况

又∵是直径

同理可得

故当点P在OB的下方时，OB不可能为腰

综上，存在符合条件的点：；.