题目内容

如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，AD=AE．
（1）求证：AB=AC
（2）若BD=4，BO=2 $数学公式$ ，求AD的长．

解：（1）连接BE，CD，

∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵ $\text{[math]}$ ，
∴△ABE≌△ACD，
∴AB=AC．

（2）∵BO=2 $\text{[math]}$ ，
∴BC=4 $\text{[math]}$ ，
在Rt△BDC中，CD= $\text{[math]}$ =8，
设AD=x，则AC=AB=x+4，
在Rt△ADC中，8²+x²=（x+4）²，
解得：x=6．
即AD=6．
分析：（1）连接BE，CD，则可得∠ADC=∠AEB=90°，证明△ABE≌△ACD，即可得出结论；
（2）在Rt△BCD中求出CD，设AD=x，则AC=AB=x+5，在Rt△ADC中利用勾股定理可求出x，即得出AD的长．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理及勾股定理的知识，利用圆周角定理得出∠BDC=∠BEC=90°是解题的突破口．