Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.

（1）直接填写：a= ，b= ，顶点C的坐标为 ；

（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1） ；C（-1，4）；

（2）点D（0，3）或（0，1）；

（3） 或

【解析】

（1）将A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；
（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形；
（3）首先求出直线CA的解析式为y=k1x+b1，再联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧，只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．

解：（1）把A（-3，0）、B（1，0）分别代入y=ax2+bx+3，得

解得

则该抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3．
因为y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
所以顶点C的坐标为（-1，4）；
（2）如图1，假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．
由∠CDA=90°得∠1+∠2=90°．

又∵∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1，
又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，

设D（0，c），
则

变形，得c2-4c+3=0，
解得c1=3，c2=1．
综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
（3）①若点P在对称轴右侧（如图2），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．

延长CP交x轴于M，

∴AM=CM，
∴AM2=CM2．
设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，
∴m=2，即M（2，0）．
设直线CM的解析式为y=k1x+b1，
则

∴直线CM的解析式

联立

解得或（舍去）．

②若点P在对称轴左侧（如图3），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．

由△CFA∽△CAH得

∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则AH=2，
∴点F坐标为（-5，1）．
设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则

解得

∴直线CF的解析式

联立

解得或（舍去）

∴满足条件的点P坐标为或